Question

9．已知$f（x）={x^2}-1，g（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1\;（x≥0）\\ 2-x\;（x＜0）\end{array}\right.$
（1）求g[f（x）]；
（2）设F（x）=max{f（x），g（x）}，作函数F（x）的图象，并由此求出F（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）的值进行讨论，迭代；
（2）分段求出F（x）的解析式，作出图象，得出最小值．

解答 解：（1）当x²-1≥0，即x≤-1，或x≥1时，g[f（x）]=x²-1-1=x²-2，
当x²-1＜0，即-1＜x＜1时，g[f（x）]=2-（x²-1）=-x²+3．
∴g[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x≤-1或x≥1}\\{-{x}^{2}+3，-1＜x＜1}\end{array}\right.$．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{{x}^{2}+x-3，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，令x²-x≥0，解得x≥1，令x²-x＜0，解得0＜x＜1．
当x＜0时，令x²+x-3≥0，解得x≤$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，令x²+x-3＜0，解得$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$＜x＜0，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≥1或x≤\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}\\{x-1，0≤x＜1}\\{2-x，\frac{-1-\sqrt{13}}{2}＜x＜0}\end{array}\right.$．
函数图象如图所示：
∴F（x）的最小值是-1．

点评 本题考查了不等式的解法，分段函数的图象及应用．