Question

20．已知$f（x）=|3x+\frac{1}{a}|+3|x-a|$．
（1）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（2）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用“零点分段法”解不等式|3x+1|+|3x-3|≥8，分成三段求解，再综合；
（2）运用绝对值三角不等式和基本不等式求参数m的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
采用“零点分段法”解不等式|3x+1|+|3x-3|≥8如下：
①当x≥1时，3x+1+3x-3≥8，解得，x≥$\frac{5}{3}$；
②当-$\frac{1}{3}$≤x＜1时，3x+1-3x+3≥8，不等式无解；
③当x＜-$\frac{1}{3}$时，-3x-1-3x+3≥8，解得，x≤-1，
综合以上讨论得，原不等式的解集为：（-∞，-1]∪[$\frac{5}{3}$，+∞）；
（2）∵不等式f（x）≥m恒成立，∴f（x）_min≥m，
根据绝对值三角不等式得，|3x+$\frac{1}{a}$|+|3x-3a|≥|$\frac{1}{a}$+3a|，
即f（x）_min=|$\frac{1}{a}$+3a|，且a＞0，
所以，$\frac{1}{a}$+3a≥m，
根据基本不等式，$\frac{1}{a}$+3a≥2$\sqrt{3}$，
所以，m≤2$\sqrt{3}$，
即实数m的取值范围为：（-∞，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，涉及零点分段法，以及含绝对值的不等式恒成立问题的解法，用到绝对值三角不等式和基本不等式，属于中档题．