Question

11．设数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{2}$，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），则满足$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$的n值为4．

Answer 1

分析 通过2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）与2a_n+S_n-1=3（n≥2）作差可知a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n≥2），验证当n=1时也成立，进而可知S_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），化简可知$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$等价于$\frac{1}{17}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{9}$，计算即得结论．

解答 解：∵2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），
∴当n≥2时，2a_n+S_n-1=3（n∈N^*），
两式相减，得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，
整理得：a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n≥2），
又∵2a₂=3-a₁=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$=a₁，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$，
∴$\frac{18}{17}$＜$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{2n}}）}{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$＜$\frac{10}{9}$，
即$\frac{1}{17}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{9}$，
解得：n=4，
故答案为：4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．