Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{9}^{x}+{3}^{x+1}+a}{{3}^{x}}$．
（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为偶函数，便有f（-1）=f（1），从而可以求出a=1；
（2）根据条件便可得到3^2x+3•3^x＞-a对任意x∈[0，+∞）恒成立，配方便可求出y=3^2x+3•3^x在[0，+∞）上的最小值，从而得出a的取值范围；
（3）分离常数得到$f（x）={3}^{x}+3+\frac{a}{{3}^{x}}$，然后求导数，根据条件知导数f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，从而得到3^2x≥a在[0，+∞）上恒成立，这样便可求出a≤1，即求出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）是偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
即$\frac{\frac{1}{9}+1+a}{\frac{1}{3}}=\frac{9+9+a}{3}$；
解得a=1；
（2）由f（x）＞0得，$\frac{{9}^{x}+{3}^{x+1}+a}{{3}^{x}}＞0$；
∴3^2x+3•3^x＞-a对任意的x∈[0，+∞）都成立；
设g（x）=3^2x+3•3^x=$（{3}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，则g（0）=4为g（x）在[0，+∞）上的最小值；
∴4＞-a；
∴a＞-4；
∴实数a的取值范围为（-4，+∞）；
（3）$f（x）={3}^{x}+3+\frac{a}{{3}^{x}}$，$f′（x）={3}^{x}ln3-\frac{a•{3}^{x}ln3}{{3}^{2x}}$=$\frac{ln3（{3}^{2x}-a）}{{3}^{x}}$；
∵f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；
∴f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立；
∴3^2x≥a在[0，+∞）上恒成立；
y=3^2x在[0，+∞）上的最小值为3⁰=1；
∴a≤1；
∴实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 考查偶函数的定义，指数函数的单调性，配方求二次式子的最值的方法，分离常数法的运用，函数单调性和函数导数符号的关系．