Question

12．圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为$\frac{30}{7}$时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值．

Answer 1

分析 根据纵截面列出函数式子，S=2π（12-$\frac{12}{5}$r）r+2πr²=2π（12r-$\frac{7}{5}$r²），结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：如图，△SAB是圆锥的轴截面，其中SO=12，OB=5，
设圆锥内接圆柱的底面半径O₁C=r，
∵△SOB∽△SO′C′，
∴SO′：O′C=SO：OB，
∴SO′=$\frac{12}{5}$•O′C=$\frac{12}{5}$r，
00′=12-$\frac{12}{5}$r，
∴圆柱的全面积S=2π（12-$\frac{12}{5}$r）r+2πr²=2π（12r-$\frac{7}{5}$r²），
∵当r=$\frac{30}{7}$时，S取最大值，
故答案为：$\frac{30}{7}$

点评 本题考查的知识点是旋转体，相似三角形的性质，圆柱的表面积公式，二次函数的图象和性质，难度中档．