Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$，存在x₁＜x₂＜x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值为$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$的图象，可得$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{lnx}_{2}}{{x}_{2}}$，（x₂∈（1，e²）），利用导数法，可得其最大值．

解答 解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$的图象如下图所示：

若存在x₁＜x₂＜x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
则x₁•x₂=1，f（x₂）=f（x₃）=lnx₂，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{lnx}_{2}}{{x}_{2}}$，（x₂∈（1，e²）），
令y=$\frac{lnx}{x}$，x∈（1，e²），
则y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e³），y′＜0，
∴函数在（1，e）上单调递增，在（e，e³）上单调递减，
∴x=e时，函数取得最大值$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$的最大值为$\frac{1}{e}$．
故答案为：$\frac{1}{e}$

点评 本题考查分段函数的应用，考查利用导数求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．