Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（Ⅲ）（理科）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE．
（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．
（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．
因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．
设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，
则O（0，0，0），S（0，0，

2

），A（

2

，0，0），
B（0，

，2

，0），C（-

2

，0，0），D（0，-

2

，0）．
所以

AC

=（-2

2

0，0），

BD

=（0，-2

2

，0）．
设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．
所以E（-

2

+

2

2

a，0，

2

2

a），

BE

=（-

2

+

2

2

a，-

2

，

2

2

a）．
设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则

n• BD =0 n• BE =0

即

y=0 (- 2 + 2 2 a)x- 2 y+ 2 2 az=0

令z=1，得n=（

a

2-a

，0，1）．易知

BD

=（0，2

2

，0）是平面SAC的法向量．
因为n•

BD

=（

a

2-a

，0，1）•（0，-2

2

，0）=0，所以n⊥

BD

，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）
（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（

a

2-a

，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，
所以

OS

=（0，0，

2

）是平面SAC的一个法向量．由已知二面角E-BD-C的大小为45°．
所以|cos（

OS

，n）|=cos45°=

2

2

，所以

2

( a 2-a )2+ 1 - 2

=

2

2

，解得a=1．
所以点E是SC的中点．

点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．