Question

【题目】设函数．

（1）若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求．

（2）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先求导再结合极值点和零点建立方程组，

在上单调递减；在上单调递增故函数至多有两个零点，其中，，再由零点定理得，故；（2）令，为关于的一次函数且为增函数

在上有解，再令，原命题转化为只需存在使得，设，令，再利用导数工具，结合分类讨论思想和数形结合思想求导正解．

试题解析： （1），∵是函数的极值点，∴．

∵是函数的零点，得，

由解得，．

∴，．

令,，得，

令，得，

所以在上单调递减；在上单调递增．

故函数至多有两个零点，其中，，

因为，，

，所以，故．

（2）令，，则为关于的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意，都存在，使得成立，

则在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，

∴在上单调递增，，

①当，即时，，即，在上单调递增，∴，不符合题意；

②当，即时，，．

若，则，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，

∴存在，使得，符合题意．

若，则，∴在上一定存在实数，使得，∴在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，∴存在，使得，符合题意．

综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立．