Question

（本小题满分14分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC的中点，且DE∥BC.

(1)求证：DE∥平面ACD

(2)求证：BC⊥平面PAC；

(3)求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）略 ；(2)见解析；(3) AD与平面PAC所成角的正弦值为.

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．

（1）因为DE∥BC.可以推理证明DE∥平面ACD

（2）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；

（3）D为PB的中点，作出AD与平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可

解：（1）略 。。。。。。。。4分

(2)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC. 。。。。。。。。。9分

(3)∵D为PB的中点，DE∥BC，  ∴DE＝BC.

又由(1)知，BC⊥平面PAC，   ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.

又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD＝AB.

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，

即AD与平面PAC所成角的正弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。14分