Question

已知数列2008，2009，1，-2008，-2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2013项之和S₂₀₁₃等于（　　）

A、2 008

B、2 010

C、4018

D、1

Answer 1

分析：设该数列为{a_n}，由从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，得a_n+1=a_n+a_n+2，从而有a_n+2=a_n+1+a_n+3，两式相加后通过变形可推得数列周期，由周期性可求得答案．

解答：解：设该数列为{a_n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，即a_n+1=a_n+a_n+2，
则a_n+2=a_n+1+a_n+3，
两式相加，得a_n+3+a_n=0，即a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=-（-a_n）=a_n，
∴该数列的周期为6，
∵a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=2008+2009+1-2008-2009-1=0，
∴S₂₀₁₃=335×（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂+a₃=0+2008+2009+1=4018，
故选C．

点评：本题考查数列的求和及数列的函数特性，利用条件推导该数列的周期是解决该题的关键所在．