Question

以下结论正确的有

②③⑤

（写出所有正确结论的序号）
①函数y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；
②对于函数f（x）=-x²+1，当x₁≠x₂时，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
③已知幂函数的图象过点(2，2

3

5

)，则当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方；
④奇函数的图象必过坐标原点；
⑤函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，则f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：①函数y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性；
②f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，利用作差法能够比较

f(x1)+f(x2)

2

和f（

x1+x2

2

）的大小；
③设幂函数f（x）=x^a，由幂函数的图象过点(2，2

3

5

)，知f（x）=x 

3

5

，由此能求出结果；
④由奇函数的性质，知奇函数的图象不一定过坐标原点；
⑤根据抽象函数的性质，利用定义法能够判断f（x）R上的单调性．

解答：解：①函数y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性，故①不正确；
②∵f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）
=

-x12+1-x22+1

2

-[-（

x1+x2

2

）²+1]
=

x12+2x1x2+x22

4

-

x12+x22

2

＜0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故②正确；
③设幂函数f（x）=x^a，
∵幂函数的图象过点(2，2

3

5

)，∴f（2）=2

3

5

，故f（x）=x 

3

5

，
∴当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方，故③正确；
④由奇函数的性质，知奇函数的图象不一定过坐标原点，故④不正确；
⑤∵函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
∴令x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=f（x₂+（x₁-x₂））-f（x₂）
=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
由于当x＜0时f（x）＜1，而x₁-x₂＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在R上为增函数．故⑤正确．
故答案为：②③⑤

点评：本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意反比例函数、二次函数、幂函数、奇函数、抽象函数的性质的灵活运用．