Question

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足

BM

=

MC

，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵

AT

•

AB

=0
∴AT⊥AB，又T在AC上
∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，所以直线AC的斜率为-3．
又因为点T（-1，1）在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
（2）AC与AB的交点为A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得点A的坐标为（0，-2），
∵

BM

=

MC

∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
从△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．
（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

的双曲线的左支．
因为实半轴长a=

2

，半焦距c=2．所以虚半轴长b=

c2-a2

=

2

．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．