Question

二次函数f（x）=ax²-2（a-1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A、a≥

  1

  3

• B、a≤-

  1

  3

• C、a≥-

  1

  3

  且a≠0
• D、a=-3

Answer 1

分析：考虑两种情况：当a大于0时，得出二次函数的图象为开口向上的抛物线，根据二次函数的增减性得到函数在区间（4，+∞）内是减函数不可能；当a小于0时，得出二次函数的图象为开口向下的抛物线，根据二次函数的顶点坐标公式求出此函数的顶点坐标，因为二次函数f（x）=ax²-2（a-1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，经过判断得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．

解答：解：当a＞0时，得到二次函数为开口向上的抛物线，与二次函数在区间（4，+∞）内是减函数矛盾，a取空集；
当a＜0时，二次函数f（x）=ax²-2（a-1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，
得到x=

2(a-1)

2a

≤4，解得：a≤-

1

3

．
故选B

点评：此题考查学生灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．