Question

（2007•汕头二模）设复数z=

1+i

1-i

（i为虚数单位），则C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（　　）

A．16

B．15

C．16i

D．16-i

Answer 1

分析：先利用复数的运算求出z=i；再结合二项式定理的应用把所求问题转化为（1+i）⁸-C₈⁸z⁸即可求出结论．

解答：解：∵z=

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1+i)(1-i)

=i．
∵（1+z）⁸=（1+i）⁸=C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷+c₈⁸z⁸．
∴C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷
=（1+i）⁸-C₈⁸z⁸
=（1+i）⁸-C₈⁸i⁸
=[（1+i）⁴]²-[（i）⁴]²
=（-4）²-1²=15．
故选：B．

点评：本题主要考查二项式定理的应用以及复数的运算．考查计算能力，属于基础题目．解决问题的关键在于把所求问题转化为（1+i）⁸-C₈⁸z⁸．