Question

（2007•汕头二模）中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

Answer 1

分析：（1）甲答对试题数的可能取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，得到变量的概率，写出分布列．做出期望值．
（2）先求甲、乙两人考试合格的事件的概率，从而可求甲、乙两人考试均不合格的概率，进而用对立事件，可求甲、乙两人至少一个合格的概率．

解答：解：（1）甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，
p（ξ=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则 P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

14

15

，
甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）•P（

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

3

×

1

15

=

1

45

，
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个比较好的概率解答题．