Question

8．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）求证：DG=DH．

Answer 1

分析 （1）连接CE，证明△ADB∽△ACE，即可证明AB•AC=AD•AE；
（2）根据三角形高的定义得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CBG=∠3，则∠EBC=∠CBG，然后根据等腰三角形三线合一即可得到结论．

解答 证明：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，
∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，
∵∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB•AC=AD•AE；
（2）连接BG，
∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质，考查圆周角定理及其讨论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．