Question

已知函数．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=2时，，求出导函数f'（x），从而求出f'（1）得到切线的斜率，求出切点，根据点斜式可求出切线方程；
（2）m=1时，令，求出h'（x），判定符号得到函数在（0，+∞）上的单调性，然后判定的符号，根据根的存在性定理可得结论；
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，讨论x²-1的符号将m分离出来，利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出m的取值范围．
解答：解：（1）m=2时，，，
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4…（2分）
（2）m=1时，令，
，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
又，
∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点
∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根     …（6分）
（或说明h（1）=0也可以）
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，
令，只需m小于G（x）的最小值，
，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为，
则m的取值范围是．            …（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根的存在性和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．