Question

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意知△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，分别以CB、CA所在的直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系．算出A、B、C各点的坐标，设P（x，y）可得=2（x-）²+2（y-）²-1，结合两点间的距离公式可得点P坐标为（，）时，取得最小值．
解答：解：∵Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形
分别以CB、CA所在的直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系
∵AC=BC=2，∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
设P（x，y），则
=（-x，2-y），=（2-x，-y）），=（-x，-y）
∴+=（2-2x，2-2y）
∴=-x（2-2x）-y（2-2y）=-2x+2x²-2y+2y²=2（x-）²+2（y-）²-1
∵（x-）²+（y-）²为点P到点（，）距离的平方，
∴当点P坐标为（，）时，（x-）²+（y-）²达到最小值0，
由此可得当点P坐标为（，）时，数量积的最小值是-1
故答案为：-1
点评：本题给出等腰直角三角形ABC内部一点P，求数量积的最小值．着重考查了平面向量数量积的坐标表示及其应用，属于中档题．解题的关键是根据所求式子运用几何意义使问题得以解决．