Question

张三开车回家途中有6个交通岗，他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

1

3

．
（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率；
（2）设ξ为他在途中遇到的红灯次数，求ξ的期望和方差；
（3）设η表示他在首次停车前经过的路口数，求η的分布列．

Answer 1

分析：（1）先求他在途中一次红灯都没有遇到的概率，然后利用对立事件概率，可求他至少一次遇到红灯的概率；
（2）确定ξ服从B（6，

1

3

），利用公式可求ξ的期望和方差；
（3）确定η的可能取值，求出相应的概率，从而可得η的分布列．

解答：解：（1）他在每个路口遇到红灯的概率为

1

3

，则他在每个路口顺利通过的概率为

2

3

，所以他在途中一次红灯都没有遇到的概率为（

2

3

）⁶=

64

729

，所以他至少一次遇到红灯的概率为1-

64

729

=

665

729

．                     （4分）
（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是

1

3

，
则P（ξ=K）=

C

k 6

((

1

3

)k(

2

3

)6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），
所以ξ服从B（6，

1

3

），所以Eξ=6×

1

3

=2（次），Dξ=6×

1

3

×

2

3

=

4

3

．               （8分）
（3）η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6
P（η-0）=

1

3

；P（η=1）=

2

3

×

1

3

=

2

9

；P（η=2）=(

2

3

)2×

1

3

=

4

27

；P（η=3）=(

2

3

)3×

1

3

=

8

81

；
P（η=4）=(

2

3

)4×

1

3

=

16

243

；P（η=5）=(

2

3

)5×

1

3

=

32

729

；P（η=6）=(

2

3

)6=

64

2187

，
η的分布列如下：

η	0	1	2	3	4	5	6
P	1 3	2 9	4 27	8 81	16 243	32 729	64 2187

（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．