Question

张三开车回家途中有6个交通岗，他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率；
（2）设ξ为他在途中遇到的红灯次数，求ξ的期望和方差；
（3）设η表示他在首次停车前经过的路口数，求η的分布列．

Answer 1

解：（1）他在每个路口遇到红灯的概率为，则他在每个路口顺利通过的概率为，所以他在途中一次红灯都没有遇到的概率为（）⁶=，所以他至少一次遇到红灯的概率为1-=． （4分）
（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是，
则P（ξ=K）=（k=0，1，2，3，4，5，6），
所以ξ服从B（6，），所以Eξ=6×=2（次），Dξ=6××=． （8分）
（3）η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6
P（η-0）=；P（η=1）==；P（η=2）==；P（η=3）==；
P（η=4）==；P（η=5）==；P（η=6）==，
η的分布列如下：

η	0	1	2	3	4	5	6
P

（12分）
分析：（1）先求他在途中一次红灯都没有遇到的概率，然后利用对立事件概率，可求他至少一次遇到红灯的概率；
（2）确定ξ服从B（6，），利用公式可求ξ的期望和方差；
（3）确定η的可能取值，求出相应的概率，从而可得η的分布列．
点评：本题考查概率的求法，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．