Question

经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=

100 v +23，0＜v≤50 v2 500 +20，v＞50

除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

Answer 1

分析：（1）由题意，当0＜v≤50时，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=

123000

v

+690，当v＞50时，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=

3v2

50

+

120000

v

+600，由此能将y表示成速度v的函数关系式．
（2）当0＜v≤50时，y=

123000

v

+690是单调减函数，故v=50时，y取得最小值ymin=

123000

v

+690=3150，当v＞50时，y=

3v2

50

+

120000

v

+600，由导数求得当v=100时，y取得最小值ymin=

3×1002

50

+

120000

100

+600=2400，由于3150＞2400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．

解答：解：（1）由题意，当0＜v≤50时，
y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=30•(

100

v

+23)+300•

400

v

=

123000

v

+690，
当v＞50时，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=30(

v2

500

+20)+300•

40

v

=

3v2

50

+

120000

v

+600，
∴y=

123000 v +690，0＜v≤50 3v2 50 + 120000 v +600，v＞50

．
（2）当0＜v≤50时，
y=

123000

v

+690是单调减函数，
故v=50时，y取得最小值ymin=

123000

v

+690=3150，
当v＞50时，y=

3v2

50

+

120000

v

+600，
由y′=

3v

25

-

120000

v2

=

3( v3-10 6)

25v2

=0，
得v=100．
当50＜v＜100时，y′＜0，
函数y=

3v2

50

+

120000

v

+600单调递增，
∴当v=100时，y取得最小值ymin=

3×1002

50

+

120000

100

+600=2400，
由于3150＞2400，
所以，当v=100时，y取得最小值．
答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．