Question

已知z为虚数，且|z|=

5

，若z2-2

.

z

为实数．
（1）求复数z；
（2）若z的虚部为正数，且ω=z+4sinθ•i（i为虚数单位，θ∈R），求ω的模的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i为虚数单位），根据|z|=

5

，z2-2

.

z

为实数建立方程组，解之即可求出复数z；
（2）若z的虚部为正数，则由（1）知，z=-1+2i，然后根据模的定义建立ω的模函数表达式，然后利用二次函数的性质求出函数的取值范围即可．

解答：解：（1）设z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i为虚数单位）．
由|z|=5得 a²+b²=5（*）…（1分）
又因为z2-2

.

z

为实数，即（a+bi）²-2（a-bi）为实数，即a²-b²-2a+2b（a+1）i为实数，
所以b（a+1）=0，…（2分）
又 b≠0，所以a=-1．将a=-1代入（*）解得   b=±2．…（4分）
于是  z=-1+2i或z=-1-2i．…（5分）
（2）若z的虚部为正数，则由（1）知，z=-1+2i，所以ω=-1+2i+4sinθ•i，
即ω=-1+（2+4sinθ）•i，…（6分）
所以|ω|=

(-1)2+(2+4sinθ)2

，即|ω|=

16(sinθ+ 1 2 )2+1

，
设t=sinθ（-1≤t≤1），则|ω|=

16(t+ 1 2 )2+1

，
它在t∈[-1，-

1

2

]上单调递减，在t∈[-

1

2

，1]上单调递增．
所以当t=-

1

2

，即sinθ=-

1

2

，即θ=kπ-(-1)k•

π

6

  (k∈Z)时，|ω|_min=1；…（8分）
又当t=-1，即sinθ=-1，即θ=2kπ-

π

2

  (k∈Z)时，|ω|=

5

，当t=1，即sinθ=1，即θ=2kπ+

π

2

  (k∈Z)时，|ω|=

37

，所以|ω|max=

37

．
因此   所求ω的模的取值范围为  [ 1， 

37

 ]．…（10分）

点评：本题主要考了复数的模以及利用二次函数的性质求闭区间上的值域，同时考查了换元法的运用，属于基础题．