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    函数f(x)=
    x
    x2+1
    ，则
    f(2)
    f(
    1
    2
    )
    +
    f(3)
    f(
    1
    3
    )
    +
    f(4)
    f(
    1
    4
    )
    +…+
    f(2009)
    f(
    1
    2009
    )
    =
     
    ．
    分析：利用函数的解析式求出f(
    1
    x
    )    ，判断出函数具有f(x)=f(
    1
    x
    )    的性质，求出式子的值．
    解答：解：∵f(x)=
    x
    x2+1

    ∴f(
    1
    x
    )=
    1
    x
    (
    1
    x
    )    2    +1
    =
    x
    x2+1

    ∴
    f(x)
    f(
    1
    x
    )
    =1
    f(2)
    f(
    1
    2
    )
    +
    f(3)
    f(
    1
    3
    )
    +
    f(4)
    f(
    1
    4
    )
    +…+
    f(2009)
    f(
    1
    2009
    )
    =2008
    故答案为：2008
    点评：本题考查利用函数的解析式研究函数具有的特殊性质，利用性质求值．
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    已知函数f(x)=
    x
    x2+1
    ，求
    f(2)
    f(
    1
    2
    )
    +
    f(3)
    f(
    1
    3
    )
    +…
    f(2011)
    f(
    1
    2011
    )
    的值．

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    若函数f(x)=
    x
    x2+2(a+2)x+3a
    ，(x≥1)    能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是
    a≥
    1
    3
    a≥
    1
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    x2+1
    ，则f(
    1
    a
    )    =
    a
    a2+1
    a
    a2+1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为（-1，1）的函数f(x)=
    xx2+1
    ．
    （Ⅰ）判断函数f（x）奇偶性并加以证明；
    （Ⅱ）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；
    （Ⅲ）解关于x的不等式f（x-1）+f（x）＜0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    -x
    x2
       
    -1≤x＜0
    0≤x≤1
    ，则f(f(-
    1
    2
    ))    =
     
    ．

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