Question

（2012•宣威市模拟）已知a＜b＜0，奇函数f（x）的定义域为[a，-a]，在区间[-b，-a]上单调递减且f（x）＞0，则在区间[a，b]上（　　）

A．f （x）＞0且|f （x）|单调递减

B．f （x）＞0且|f （x）|单调递增

C．f （x）＜0且|f （x）|单调递减

D．f （x）＜0且|f （x）|单调递增

Answer 1

分析：根据奇函数图象关于原点对称，得到区间[a，b]上的单调性与区间[-b，-a]上相同，从而得到f（x）在区间[a，b]上的最大值f（a）负数，则所有值都为负数．最后根据y=|f（x）|的图象与y=f（x）图象关于x轴对称，得函数y=|f（x）|的单调性y=f（x）相反，在区间[a，b]上是增函数．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称
∴函数f（x）在关于原点对称的区间上有相同的单调性
∵f（x）在区间[-b，-a]上单调递减
∴f（x）在区间[a，b]上也是单调递减函数
∵在区间[-b，-a]上f（x）＞0，
∴函数的最小值f（-a）＞0，可得-f（a）＞0，即f（a）＜0，
因此，f（x）在区间[a，b]上的最大值f（a）负数，
∴f（x）＜0在区间[a，b]上恒成立
∵f（x）＜0，且f（x）在区间[a，b]上单调递减，
∴函数y=|f（x）|的图象与y=f（x）图象关于x轴对称，
由此可得函数y=|f（x）|的单调性y=f（x）相反，在区间[a，b]上是增函数．
故选：D

点评：本题给出奇函数在已知区间上的单调性和符号，要我们探索其在对称的区间上的单调性和符号．着重考查了函数单调性、奇偶性及其相互关系等知识，属于中档题．