Question

证明二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．

Answer 1

分析：一方面证明充分性，先用反证法证明b²-4ac＞0，从而得出故二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有两个不等的零点，利用零点与方程的关系及已知条件即可证明x₁＜m＜x₂．另一方面证明必要性，即证明二次函数f（x）的两个零点在点（m，0）的两侧的⇒af（m）＜0．

解答：解：充分性：设△=b²-4ac≤0则af（x）=a²x²+abx+ac=a²（x+

b

2a

）²-

b2

4

+ac=a²（x+

b

2a

）²-

1

4

（b²-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，这与af（m）＜0矛盾，即b²-4ac＞0．
故二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有两个不等的零点，设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，从而f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，所以x₁＜m＜x₂．
必要性：设x₁，x₂是方程的两个零点，且x＜x₂，由题意知x₁＜m＜x₂，
因为f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且x₁＜m＜x₂．
∴af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，即af（m）＜0．
综上所述，二次函数f（x）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．

点评：此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查二次方程根的相关知识．