Question

6．数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1．又设b_n=a_n+2ⁿ．
（1）证明：{b_n}为等比数列，并求a_n．
（2）证明：$\frac{6}{5}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{5}$，（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明：{b_n}为等比数列，并求a_n．
（2）利用放缩法结合数列的求和公式进行证明不等式即可．

解答 （1）∵$\left.\begin{array}{l}2{S_n}={a_{n+1}}-{2^{n+1}}+1\\ 2{S_{n-1}}={a_n}-{2^n}+1\end{array}\right\}⇒2{a_n}={a_{n+1}}-{2^n}-{a_n}$（n≥2）
即：${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}?{a_{n+1}}+{2^{n+1}}=3（{{a_n}+{2^n}}）$（n≥2），…（3分）
又由a₁=1及2S₁=a₂-4+1故a₂=5．
即${a_2}+{2^2}=3（{{a_1}+2}）$∴${b_n}={b_1}•{3^{n-1}}={3^n}$即{b_n}为等比数列，…（6分）
∴${a_n}={b_n}-{2^n}={3^n}-{2^n}$…（7分）
（2）∵$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}≥\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=\frac{6}{5}$…（8分）
又当n≥2时：
${a_n}={3^n}-{2^n}≥5•{2^{n-2}}?{3^n}≥\frac{9}{4}•{2^n}?{（{\frac{3}{2}}）^n}≥\frac{9}{4}?n≥2$，
∴当n≥2时：${a_n}≥5•{2^{n-2}}$，
即：$\frac{1}{a_n}≤\frac{1}{{5•{2^{n-2}}}}$仅当n=2时取等号．…（11分）
则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$≤1+$\frac{1}{5}+\frac{1}{5•2}+\frac{1}{5•{2}^{2}}+…+\frac{1}{5•{2}^{n-2}}$=1+$\frac{1}{5}•\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$=1+$\frac{2}{5}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）＜$$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{6}{5}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{5}$，（n≥2）成立．

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用以及数列与不等式的综合证明，结合等比数列的通项公式和求和公式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．