Question

设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²=abcosC+

3

absinC，则△ABC的形状为（　　）

A．直角非等腰三角形

B．等腰非等边三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

Answer 1

分析：将已知等式右边提取2ab，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出a²+b²≤2ab，当且仅当C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

时取等号；再利用基本不等式得到a²+b²≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，进而确定出a=b且C=

π

3

，即可判定出此三角形为等边三角形．

解答：解：∵-1≤sin（C+

π

6

）≤1，
∴a²+b²=abcosC+

3

absinC=2ab（

1

2

cosC+

3

2

sinC）=2absin（C+

π

6

）≤2ab，
当且仅当C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

时取等号，
又a²+b²≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，
则a=b且C=

π

3

，即△ABC为等边三角形．
故选D

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．