Question

【题目】如图,在四棱锥中, 平面平面,.

（1）求证: 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，由线面垂直的判定得到平面；

（2）取中点为，连接，，由已知可得，．以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，，，进一步求出向量、、的坐标，再求出平面的法向量，设与平面的夹角为，由，求得直线与平面所成角的正弦值；

（3）假设存在点使得平面，设，，由可得，，由平面，可得，由此列式求得当时，点即为所求．

试题解析：（1）证明: 因为平面平面,平面,

又因为平面.

（2）如图, 取的中点,连接又因为平面,平面平面,平面,平面,.如图建立空间直角坐标系,由题意.

设平面的法向量为,则,即,令,则,又,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）设是棱上一点，则存在使得，因此点平面平面，当且仅当，

即，解得，所以在棱上存在点使得平面，

此时.