Question

已知椭圆C：过点，且离心率为，
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题设椭圆的离心率，∴，∴a=2c，
∴，∴，，
∴，
∴椭圆的方程为。
(Ⅱ)设，
由消去y，并整理得
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，
∴△=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0，即m²＜4k2+3， ①
且M，N的中点坐标，
设MN的垂直平分线l′的方程：，
∵P在l′上，
∴，
即，
∴，
将上式代入①式，得，
∴，即或，
∴k的取值范围是。