Question

已知椭圆C：过点，且离心率．        
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点，且线段 的垂直平分线过定点，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，即，，
∴ 
∴ 椭圆C的方程可设为
代入，得           
 解得   
∴ 所求椭圆C的方程是．
（Ⅱ）法一
由方程组   消去，得  
由题意，△  
整理得：①
设，的中点为，
则，   
由已知，  即即  ;
整理得：  
代入①式，并整理得：，   即  
∴                     
（Ⅱ）法二,
由方程组   消去，
得    
由题意，△  
整理得：                           ①
设，的中点为，
则  整理得：      ②
又  ∴                      ③          
由②、③解得   代入，
得   
代入①式，并整理得： ，   即  
∴               
 法三：
由在椭圆内部，得：    
整理得： ，  
即  ∴