Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，?π]，向量

b

=（

3

，-1）
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值?；
（2）若|2

a

-

b

|＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直其数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，求出tanθ的值，由θ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；
（2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算出2

a

-

b

的坐标，利用向量模的计算公式表示出|2

a

-

b

|²，整理后，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质可得出此时正弦函数的值域，进而得出|2

a

-

b

|的最大值，根据不等式恒成立时满足的条件，令m大于|2

a

-

b

|的最大值即可求出m的范围．

解答：解：（1）∵

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（

3

，-1），

a

⊥

b

，
∴

3

cosθ-sinθ=0，变形得：tanθ=

3

，
又θ∈[0，π]，
则θ=

π

3

；
（2）∵2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
∴|2

a

-

b

|²=（2cosθ-

3

）²+（2sinθ+1）²=8+8（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=8+8sin（θ-

π

3

），
又θ∈[0，π]，
∴θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

3

2

≤sin（θ-

π

3

）≤1，
∴|2

a

-

b

|²的最大值为16，
∴|2

a

-

b

|的最大值为4，
又|2

a

-

b

|＜m恒成立，
所以m＞4．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算法则，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．