Question

已知函数f（x）=

x+b

x2+4

是奇函数（b∈R），若f（x）＜a对一切实数x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据奇函数的性质，即f（0）=0，求得b的值，再利用分类讨论的思想，根据基本不等式求出a的范围．

解答： 解：∵f（x）=

x+b

x2+4

是奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=

x

x2+4

，
当x=0时，f（0）=0＜a，
当x＞0时，
∴f（x）=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

≤

1

4

＜a，当且仅当x=2时取等号，
当x＞0时，
∴f（x）=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

=-

1

(-x)+(- 4 x )

≤-

1

4

＜a，当且仅当x=-2时取等号，
∵f（x）＜a对一切实数x都成立，
∴a＞

1

4

，
故a的取值范围是（

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和基本不等式，以及函数恒成立的问题，属于中档题．