Question

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由{a_n}为递增的等比数列，得到数列{a_n}的公比q＞0，且a₁＞0，又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，可得出a₁，a₃，a₅三项，则公比可求，通项可求．
（II）先假设存在等差数列{b_n}，由所给式子求出b₁，b₂，公差可求，通项可求，证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立，用错位相减法求得此数列是适合的．
解答：解：（I）因为{a_n}是递增的等比数列，所以数列{a_n}公比q＞0，首项a₁＞0，
又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）
从而，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（6分）
（II）假设存在满足条件的等整数列{b_n}，其公差为d，则当n=1时，a₁b₁=1，
又∵a₁=1，∴b₁=1；
当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2
则d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立．
设S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）
（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=，
所以存在等差数列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立（12分）
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，已知数列为等比数列，求通项公式，求首项和公比即可；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积；考查推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想．