Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

1

2

AB=a，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°
（1）求证：DE⊥PC；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）求二面角D-PC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）四边形ADCE是菱形，连接AC交DE于F，连接PF，则DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，根据直线与平面垂直的判定定理可知，DE⊥平面PFC，又PC?平面PFC，则DE⊥PC．
（2）利用线面平行进而把点D转化为点F到面得距离，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求线段的长度．
（3）利用二面角的平面角定义找到二面角的平面角，然后在Rt△DHO中解出二面角的大小即可；

解答：解：（1）连接EC，
∵E是AB的中点，∴BE=

1

2

AB，
又∵CD∥AB，DC=

1

2

AB，∴DC∥EB且DC=EB
∴CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．
（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

3

2

a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a
（3）取PB的中点G，连HG，可知∠DHG为所求二面角，DO=HG=

1

2

a，DH=

7

4

a，
在直角三角形DHO中，sin∠DHO=

DO

DH

=

2 7

7

，又因为GH⊥面POC，
∴GH⊥OH∠DHG=∠DHO+∠GHO=

π

2

+arcsin

2 7

7

．        
（或∠DHG=π-arctan

3

2

=π-arccos

2 7

7

）．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，把要求的点到面得距离转化为易求的点到面得距离，并利用面面垂直找到点在面内的垂足的位置，此外还考查了学生利用反三角函数的知识表示角的大小．