Question

如图直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，E，F是AB边的四等分点，AB=4，BC=BF=AE=1，AD=3，P为在梯形区域内一动点，满足PE+PF=AB，记动点P的轨迹为Γ．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求轨迹Γ在该坐标系中的方程；
（2）判断轨迹Γ与线段DC是否有交点，若有交点，求出交点位置；若没有交点，请说明理由；
（3）证明D，E，F，C四点共圆，并求出该圆的方程．

Answer 1

分析：（1）取AB中点为O，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，结合已知及椭圆的定义，可得动点P的轨迹为以E，F焦点，长轴长为4的上半椭圆，进而得到轨迹Γ在该坐标系中的方程；
（2）在（1）所建立的坐标系中，求出直线DC的方程，代入椭圆方程后，判断方程解的组数，可得结论；
（3）解法一：记y轴与DC交点为G，由y轴是EF的中垂线，即|GE|=|GF|，结合OG为直角梯形中位线，|GD|=|GC|，求出G点坐标进而可得四边形DEFC外接圆方程；
（3）解法二：要证D，E，F，C四点共圆，设圆心为G．即证：|GD|=|GE|=|GF|=|GC|，进而可得四边形DEFC外接圆方程．

解答：解：（1）取AB中点为O，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，…（1分）
那么A（-2，0），E（-1，0），F（1，0），B（2，0）
由于PE+PF=AB=4，且EF=2＜4…（2分）
那么动点P的轨迹为以E，F焦点，长轴长为4的上半椭圆，
那么椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1 (0≤y≤

3

)…（4分）
（2）在（1）所建立的坐标系中，点D（-2，3），C（2，1）
由两点式得到直线DC的方程为：x+2y-4=0，…（6分）
把x=4-2y代入椭圆方程并整理得4y²-12y+9=0，解得y=

3

2

…（8分）
因为0＜

3

2

＜

3

轨迹Γ与线段DC有且只有一个交点（1，

3

2

），…（9分）
（3）记y轴与DC交点为G，由于y轴是EF的中垂线，那么|GE|=|GF|
又OG为直角梯形中位线，则|GD|=|GC|，且OG=

1

2

(AD+BC)=2，故G点坐标为（0，2）（10分）
计算可得|GC|=

5

 ， |GF|=

5

，故DEFC四点共圆，…（12分）
且该圆以G（0，2）为圆心，半径为

5

故圆的方程为x²+（y-2）²=5…（14分）
（3）另解：要证D，E，F，C四点共圆，设圆心为G．即证：|GD|=|GE|=|GF|=|GC|．
由EF的垂直平分线：x=0，DC的垂直平分线：2x-y+2=0…（10分）
联立方程组

x=0 2x-y+2=0

解得

x=0 y=2

，即G（0，2）…（12分）
又|GE|=

12+22

=

5

，|GC|=

(0-1)2+22

=

5

所以，圆G的方程为x²+（y-2）²=5…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，圆的标准方程，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的定义，直线与椭圆的交点个数判定方法及圆的标准方程是解答的关键．