Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A₁A=AB=6，D为AC中点．
（Ⅰ）求三棱锥C₁-BCD的体积；
（Ⅱ）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求证：直线AB₁∥平面BC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C₁C⊥底面ABC即可求出三棱锥C₁-BCD的体积；
（Ⅱ）先根据A₁A⊥底面ABC，得到A₁A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC₁A₁．即可证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B₁C中点可得OD∥AB₁，即可证：直线AB₁∥平面BC₁D．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，
∴BD⊥AC，
由AB=6可知，CD=3，BD=3

3

，
∴S△BCD=

1

2

•CD•BD=

9 3

2

．
又∵A₁A⊥底面ABC，且A₁A=AB=6，
∴C₁C⊥底面ABC，且C₁C=6，
∴VC1-BCD=

1

3

•S△BCD•C1C=9

3

．                           …（4分）
（Ⅱ）∵A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BD．
又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD?平面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．                                  …（8分）
（Ⅲ）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，
在△B₁AC中，D为AC中点，O为B₁C中点，
所以OD∥AB₁，
又OD?平面BC₁D，
∴直线AB₁∥平面BC₁D．                                   …（12分）

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．