Question

在(

1

x

-3)n（n∈N^*）的展开式中，所有项系数的和为-32，则

1

x

的系数等于

-270

．

Answer 1

分析：根据题意，在(

1

x

-3)n中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（-2）ⁿ，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令

1

x

的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．

解答：解：在(

1

x

-3)n中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（-2）ⁿ，
又由题意可得，（-2）ⁿ=-32，则n=5，
则（

1

x

-3）⁵的展开式的通项为T_r+1=C₅^r（

1

x

）^5-r（-3）^r，
令5-r=2，可得r=3，
则含

1

x

的为T₄=C₅³（

1

x

）²（-3）³=-270，
故答案为-270．

点评：本题考查二项式系数的性质，关键是用赋值法求出n的值，由此得到该二项式展开式的通项．