Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项和
（I）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）：证明：∵
∴
整理，得na_n+1=（n+1）a_n-1①
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1②
②-①得：（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n
即（n+1）a_n+2-2（n+1）a_n+1+（n+1）a_n=0∴a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n∴数列{a_n}是等差数列
（II）∵a₁=3，na_n+1=（n+1）a_n-1，
∴a₂=2a₁-1=5∴a₂-a₁=2，
即等差数列{a_n}的公差为2，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n+1，（n∈N^*）
分析：（I）知通项与前n项和的关系，通过仿写得到两个等式，作差据和与项的关系求出项的递推关系，据等差中项的方法得证．
（II）利用等差数列的通项公式求出通项．
点评：本题考查由项与和的递推关系求项的特定关系：通过仿写作差；等差数列的通项公式．