Question

数列{a_n}满足a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），则m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的整数部分是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由已知a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），可得a_n+1-a_n＞0，得到数列{a_n}单调递增．再变形为a_n+1-1=a_n（a_n-1），即

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，也即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂项求和”可得m，再利用其单调性即可得出m的整数部分．

解答：解：∵a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），∴an+1-an=(an-1)2＞0，∴a_n+1＞a_n，∴数列{a_n}单调递增．
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1）＞0，
∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

an-1

-

1

an+1-1

)
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

=3-

1

an+1-1

，
∴m=S₂₀₁₃=3-

1

a2014-1

．
∵a1=

4

3

，∴a2=(

4

3

)2-

4

3

+1=

13

9

，∴a3=(

13

9

)2-

13

9

+1=

133

81

，∴a4=(

133

81

)2-

133

81

+1=

133

81

×

52

81

+1=

6916

6561

+1＞2．
∵a₂₀₁₄＞a₄＞2，∴a₂₀₁₄-1＞1，∴0＜

1

a2014-1

＜1，∴2＜3-

1

a2014-1

＜3．
因此m的整数部分是2．
故选B

点评：本题考查了通过恰当变形转化为“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．