Question

15．已知a，b都是正实数，且满足log₉（9a+b）=log₃$\sqrt{ab}$，则3a+b的最小值为12+6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据条件得出$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$=1，再根据单位1，即贴1法求和基本不等式求函数的最小值．

解答 解：∵${log_9}（9a+b）={log_3}\sqrt{ab}$，
∴9a+b=ab，即$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$=1，
所以，3a+b=（3a+b）•1
=（3a+b）•（$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$）
=3+9+$\frac{b}{a}$+$\frac{27a}{b}$
≥12+2•$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{27a}{b}}$=12+6$\sqrt{3}$，
当且仅当：a=1+$\sqrt{3}$，b=3（3+$\sqrt{3}$）时，取“=”，
即3a+b的最小值为：12+6$\sqrt{3}$，
故答案为：12+6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及对数的运算和“贴1法”的灵活运用，属于中档题．