Question

已知数列的前N项和为

（1）证明：数列是等比数列；

（2）对求使不等式恒成立的自然数的最小值.

Answer 1

（1）见解析（2）5

解析:

（1） 

     又当时，，

   

    ------------------------------------------------------4分

    ∴数列是公比为2，首项为的等比数列.……2分

   （2）由（1），知

   

    …………………………………………4分

    ①当m为偶数时，，

    ∴不存在自然数m，使恒成立. …………………………2分

②当m为奇数时，

当m=1时，；

当m=3时，；-----------------------2分

当m=5时，；

当m≥5时，即证：恒成立

ⅰ），已证

ⅱ）假设，结论成立，即

    则时，

          而 

则 

即 时，结论成立

所以当m≥5且为奇数，成立，       -------------3分

    此时m的最小值为5.       ----------------------------------------------------1分