Question

如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂线平分m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程可求得抛物线标准方程中的p，则焦点坐标和准线方程可得．
（Ⅱ）设出A，B的坐标，和M的坐标，把A，B代入抛物线方程两式相减求得直线AB的斜率，求得y_otana=4．同时根据AB，MP共线根据斜率相等求得得y_otana=4，进而可推断出AB中垂线方程的斜率，表示出其直线方程，令y=0表示出P的横坐标，进而可表示出|FP|，然后利用余弦的二倍角公式化简整理，把tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理求得结果为8，为定值，进而原式得证．

解答：解：（Ⅰ）抛物线方程中p=4，
∴焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E（x_o，y_o），焦点F（2，0）．
则有x₁+x₂=2x_o，y₁+y₂=2y_o，又A，B在曲线上有y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
两式相减得AB斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

y0

=tana，得y_otana=4．
又AB，EP垂直，易得AB中垂线方程y=-

1

tanα

（x-x_o）+y_o，令y=0，
得P点横坐标x_P=x_o+y_otana=x_o+4．
于是得|FP|=x_P-x_F=x_o+2．
由于1-cos2a=1-（cos²a-sin²a）=1-

cos2a-sin2a

cos2a+sin2a

=1-（1-

tan2a

1+tan2a

），
再将tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理得1-cos2a=

8

x0+2

，
从而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|（1-cos2a）=（xo+2）

8

x0+2

=8．
原式得证．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．