Question

如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

Answer 1

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而

因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。

从而所求准线l的方程为。

（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为x_xx_z，则

|FA|＝|AC|＝解得，

类似地有，解得。

记直线m与AB的交点为E，则

     所以。

故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

将此式代入,得，故。

记直线m与AB的交点为，则

，

，

故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故

。

从而为定值。