Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）讨论

1

e

与区间[t，t+2]（t＞0）的关系，利用导数研究函数的单调性就看得出；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤

3

x

+x+2lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(

3

x

+x+2lnx)min，x∈（0，+∞）．
利用导数求出其最小值即可．
（3）变形为：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立?(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．利用导数分别求出即可．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．∴f（x）在(0，

1

e

)上单调递减，在(

1

e

，+∞)上单调递增．
∵x∈[t，t+2]（t＞0），
①当

1

e

≤t时，f（x）在[t，t+2]（t＞0）上单调递增，∴f（x）在x=t时取得最小值，f（t）=tlnt；
②当t＜

1

e

＜t+2时，f（x）在x=

1

e

取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤

3

x

+x+2lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(

3

x

+x+2lnx)min，x∈（0，+∞）．
令u（x）=x+

3

x

+2lnx，x∈（0，+∞）．
则u′(x)=1-

3

x2

+

2

x

=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，可知当且仅当x=1时，u（x）取得最小值，且u（1）=4．
∴a≤4．
（3）对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立?(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．
令u(x)=

x

ex

-

2

e

，（x＞0）．
∵u′(x)=

1-x

ex

，可知当且仅当x=1，u（x）取得最大值，且u（1）=-

1

e

．
由（1）可知：（xlnx）_min（x＞0）=-

1

e

，而f(

1

e

)=-

1

e

＞u(1)．
因此(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．
即对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、等价转化等是解题的关键．