Question

已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．
（I）求椭圆G的方程；
（II）已知圆M的方程是x²+y²=R²（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；
（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．
解答：解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则
因为抛物线的焦点坐标为，所以，
又因为，所以，所以，
故椭圆G的方程为．…（5分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx-y+m=0
∵直线l和圆M相切，∴，即m²=R²（k²+1）①
联立方程组消去y整理可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，即m²=4k²+1②
由①②可得
设点B的坐标为（x，y），则有，，
所以，
所以
等号仅当，即取得
故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，正确表示|AB|是解题的关键．