Question

已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线y2=4

3

x的焦点是G的一个焦点，且离心率e=

3

2

．
（I）求椭圆G的方程；
（II）已知圆M的方程是x²+y²=R²（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

（I）依题意可设椭圆G的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则
因为抛物线y2=4

3

x的焦点坐标为(

3

，0)，所以c=

3

，
又因为e=

3

2

，所以

c

a

=

3

2

，所以a=2，b=

a2-c2

=1，
故椭圆G的方程为

x2

4

+y2=1．…（5分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx-y+m=0
∵直线l和圆M相切，∴

|m|

k2+1

=R，即m²=R²（k²+1）①
联立方程组

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，即m²=4k²+1②
由①②可得k2=

R2-1

4-R2

，m2=

3R2

4-R2

设点B的坐标为（x₀，y₀），则有x02=

4m2-4

1+4k2

=

16R2-16

3R2

，y02=1-

x02

4

=

4-R2

3R2

，
所以|OB|2=x02+y02=

15R2-12

3R2

=5-

4

R2

，
所以|AB|2=|OB|2-|OA|2=5-

4

R2

-R2=5-(R2+

4

R2

)≤5-2

R2• 4 R2

=1
等号仅当R2=

4

R2

，即R=

2

取得
故当R=

2

时，|AB|取得最大值，最大值为1．…（14分）