Question

7．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=3^x，
②f（x）=$\frac{2}{x}$，
③f（x）=x³，
④f（x）=log₂|x|，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（　　）

• A． ①②③④
• B． ①④
• C． ①②④
• D． ②③

Answer 1

分析 不妨设等比数列{a_n}中，a_n=a₁•q^n-1，从而依次求$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$，从而判断是否是等比数列即可．

解答 解：不妨设等比数列{a_n}中，a_n=a₁•q^n-1，
①∵f（x）=3^x，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{{3}^{{a}_{n+1}}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{3}^{{a}_{1}{q}^{n}}}{{3}^{{a}_{1}{q}^{n-1}}}$
=${3}^{{q}^{n}-{q}^{n-1}}$=${3}^{{q}^{n-1}（1-q）}$常数，
故当q≠1时，{f（a_n）}不是等比数列，
故f（x）=3^x不是等比函数；
②∵f（x）=$\frac{2}{x}$，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{n}}}{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{n-1}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n-1}}{{a}_{1}{q}^{n}}$=$\frac{1}{q}$，
故{f（a_n）}是等比数列，
故f（x）=$\frac{2}{x}$是等比函数；
③∵f（x）=x³，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{（{a}_{1}{q}^{n}）^{3}}{（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{3}}$═q³，
故{f（a_n）}是等比数列，
故f（x）=x³是等比函数；
④f（x）=log₂|x|，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{lo{g}_{2}|{a}_{1}{q}^{n}|}{lo{g}_{2}|{a}_{1}{q}^{n-1}|}$=$\frac{lo{g}_{2}|{a}_{1}|+nlo{g}_{2}|q|}{lo{g}_{2}|{a}_{1}|+（n-1）lo{g}_{2}|q|}$，
故{f（a_n）}不是等比数列，
故f（x）=log₂|x|不是等比函数．
故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的应用及等比函数的判断，同时考查了学生对新知识的接受与应用能力．