Question

17．对于a，b∈R记max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}，x∈R，若关于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$m-1＞0恒成立，求实数m的取值范围（　　）

• A． m＜1
• B． m≤1
• C． m＞1
• D． m＜2

Answer 1

分析 利用数学结合，先作出函数|x+1|，|x-2|的函数图象，根据图象，求出函数f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$，可得$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{2}$m+1，进而求出m的范围．

解答 解：f（x）=max{|x+1|，|x-2|}，
作出函数|x+1|，|x-2|的函数图象如图：

画黑线的即为f（x）的图象，
∴f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{2}$m+1，
∴m＜1．
故选A．

点评 考查了数学结合的思想和恒成立问题的转换．难点是图象的作图．