Question

定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：（1）f（m，1）=1；
（2）若n＞m，f（m，n）=0；
（3）f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]则：
（1）f（2，2）=

2

（2）

n

i

f(i，2)=

2ⁿ⁺¹-2n-2

．

Answer 1

分析：（1）由已知（2）得f（1，2）=0，利用已知条件（1）和（3）可求得f（2，2）的值；
（2）求出f（3，2），f（4，2），可知f（n，2）=2f（n-1，2）+2，构造数列后利用数列的分组求和即可得到答案．

解答：解：（1）∵n＞m，f（m，n）=0，∴f（1，2）=0；
∴f（2，2）=f（1+1，2）=2[f（1，2）+f（1，1）]=2（0+1）=2，
∴f（2，2）=2；
（2）f（3，2）=f（2+1，2）=2[f（2，2）+f（2，1）]
=2（2+1）=6，∴f（3，2）=6；
f（4，2）=f（3+1，2）=2[f（3，2）+f（3，1）]
=2（6+1）=14；
…
∴f（n，2）=2[f（n-1，2）+1]=2f（n-1，2）+2 （n≥2）．
设a_n=f（n，2），
则a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）（n≥2）．
∴{a_n+2}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+2=2•2n-1=2n，
则an=2n-2．
∴

n

i

f(i，2)=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-2）+（2²-2）+（2³-2）+…+（2ⁿ-2）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2n
=

2(1-2n)

1-2

-2n=2n+1-2n-2．
故答案为：（1）2；（2）2ⁿ⁺¹-2n-2．

点评：本题考查了映射概念，考查了数列的递推式，训练了数列的分组求和，解答的关键是找到f（n，2）与f（n-1，2）的关系，是中档题．