Question

已知函数y=f(x)=

lnx

x

．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=

1

e

处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）欲求在x=

1

e

处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=

1

e

处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出函数的定义域，求出导函数，令导函数小于0以及导数大于0，求出x的范围，写出区间即为单调区间．

解答：解：（1）∵已知函数y=f(x)=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，k=f′（

1

e

）=2e²，且f（

1

e

）=e，
所以切线方程为y-e=2e²（x-

1

e

），即2e²x-y-e=0…（6分）
（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）递增区间：（0，e）…（10分）
f'（x）＜0得x＞e，递减区间：（e，+∞） …（12分）．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．